Question

【题目】己知动点M与到点N(3，0)的距离比动点M到直线x=-2的距离大1，记动圆M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程;

(2)若直线l与曲线C相交于A，B:两点，且(O为坐标原点)，证明直线l经过定点H，并求出H点的坐标.

Answer 1

【答案】(1);(2)证明见解析，定点

【解析】

（1）题意可转化为动点到点的距离与动点到直线的距离相等，通过抛物线的定义可得曲线方程；

（2）设，，直线的方程为，联立直线与抛物线结合韦达定理，根据可以计算出的值，进而可求直线所过定点.

（1）由题意得动点到点的距离与动点到直线的距离相等，

∴动点的轨迹是以为焦点的抛物线.

∴曲线的方程为.

（2）∵直线与曲线相交于两点，∴直线的斜率不为0

设，，直线的方程为

由，消去得，

∴，即

∴，，

∵，∴，

∴，

∴，满足，

∴直线的方程为，

∴直线过定点.