Question

已知点F（0，1），直线l：y=-1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|=l₁，|DB|=l₂，求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先设出点P的坐标，代入整理即可得到动点P的轨迹C的方程；
（2）先利用条件设出圆的方程，并求出A、B两点的坐标以及|DA|=l₁，|DB|=l₂的表达式，代入整理后利用基本不等式求最大值即可．
解答：（1）解：设P（x，y），则Q（x，-1），
∵，
∴（0，y+1）•（-x，2）=（x，y-1）•（x，-2）．
即2（y+1）=x²-2（y-1），即x²=4y，
所以动点P的轨迹C的方程x²=4y．
（2）解：设圆M的圆心坐标为M（a，b），则a²=4b．①
圆M的半径为．
圆M的方程为（x-a）²+（y-b）²=a²+（b-2）²．
令y=0，则（x-a）²+b²=a²+（b-2）²，
整理得，x²-2ax+4b-4=0．②
由①、②解得，x=a±2．
不妨设A（a-2，0），B（a+2，0），
∴，．
∴=，③
当a≠0时，由③得，．
当且仅当时，等号成立．
当a=0时，由③得，．
故当时，的最大值为．
点评：本小题主要考查圆、抛物线、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力