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【题目】已知函数:

(I)时,求的最小值;

(II)对于任意的都存在唯一的使得,求实数a的取值范围.

【答案】I)答案不唯一,见解析(II

【解析】

(I)求导后,通过对的讨论,得到函数的单调性,根据单调性可得最小值;

(II)对于任意的都存在唯一的使得,的值域是的值域的子集,求出两个函数的值域后列式可求得.注意的唯一性满足

解:(I

时,递增,,

时,递减,

时,递减,

递增,

所以

综上,当

II)因为对于任意的都存在唯一的使得成立,

所以的值域是的值域的子集.

因为

递增,的值域为

i)当时,上单调递增,

所以在[1,e]上的值域为,

所以

ii)当时,因为时,递减,时,递增,且

所以只需

,所以

iii)当时,因为上单调递减,且

所以不合题意.

综合以上,实数的取值范围是.

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