Question

已知向量

a

=（sinx，-1），

b

=（

3

cosx，-

1

2

），函数f（x）=（

a

+

b

）•

a

-2
（1）求函数f（x）的最小正周期T及单调减区间；
（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a=2

3

，c=4，且f（A）=1．求A，b和△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由已知利用向量的运算及数量积即可得到(

a

+

b

)•

a

，进而得到f（x），利用正弦函数周期公式及其单调性即可得到函数f（x）的最小正周期T及单调减区间；
（2）利用（1）即可得到A，再利用正弦定理即可得到C，利用三角形内角和定理即可得到B，利用直角三角形含30°角的性质即可得出边b，进而得到三角形的面积S=

1

2

ab．

解答：解析：（1）∵

a

=(sinx，-1)，

b

=(

3

cosx，-

1

2

)，
∴（

a

+

b

）•

a

=(sinx+

3

cosx，-

3

2

)•（sinx，-1）
=sin2x+

3

sinxcosx+

3

2

=

1-cos2x

2

+

3 sin2x

2

+

3

2

=sin(2x-

π

6

)+2，
∴f(x)=(

a

+

b

)•

a

-2=sin(2x-

π

6

)．
∴T=

2π

2

=π．
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ，
解得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

(k∈Z)．
∴单调递减区间是[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

](k∈Z)．
（2）∵f（A）=1，∴sin(2A-

π

6

)=1，
∵A为锐角，∴2A-

π

6

=

π

2

，解得A=

π

3

；
由正弦定理得

a

sinA

=

c

sinC

，
∴sinC=

4×sin π 3

4 3

=sinC=

4sin π 3

2 3

=1，C∈（0，π），∴C=

π

2

．
∴B=π-A-C=

π

6

，∴b=

1

2

c=2．
∴S△ABC=

1

2

×2×2

3

=2

3

．

点评：本题综合考查了向量的运算及数量积运算、正弦函数的单调性及其性质、正弦定理、直角三角形的边角关系及其面积等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．