Question

P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三点的距离分别是

5

，

17

，

13

，则P到A点的距离是

1

．

Answer 1

分析：根据线面垂直的判定与性质，证出△PAB、△PAD、△PBC都是直角三角形．因此设PA=x，AB=y且AD=z，结合题中数据建立关于x、y、z的方程组，解之得到x、y、z的值，即可得到P到A点的距离．

解答：解：设P到A点的距离PA=x，AB=y且AD=z，则
∵PA⊥平面ABCD，AB、AD、BC?平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥BC
∵BC⊥AB，AB∩PA=A，
∴BC⊥平面PAB，可得BC⊥PB
Rt△PAB中，PB=

x2+y2

=

5

…①
同理，可得PD=

y2+z2

=

13

…②，PC=

x2+y2+z2

=

17

…③
将①②③联解，可得x=1，y=2，z=3
故P到A点的距离PA=1
故答案为：1

点评：本题给出四棱锥的底面为矩形且一条侧棱与底面垂直，在已知三条斜侧棱的情况下求四棱锥的高．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与空间距离的求法等知识，属于中档题．