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8.已知$\overrightarrow{a}$=(cosx,2cosx),$\overrightarrow{b}$=(2cosx,sinx),f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$.
(1)把f(x)的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得g(x)的图象,求g(x)的单调递增区间; 
(2)当$\vec a≠\vec 0,\vec a$与$\vec b$共线时,求f(x)的值.

分析 (1)利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式可得:$f(x)=\sqrt{2}sin({2x+\frac{π}{4}})+1$.把f(x)的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得g(x)的图象:g(x)=$\sqrt{2}sin[2(x-\frac{π}{6})+\frac{π}{4}]$+1.再利用正弦函数的单调性即可得出:g(x)的增区间.
(2)当$\vec a≠\vec 0,\vec a$与$\vec b$共线时,可得tanx=4.于是f(x)=$\frac{2co{s}^{2}x+2sinxcosx}{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$=$\frac{2+2tanx}{ta{n}^{2}x+1}$,即可得出.

解答 解:(1)f(x)=2cos2x+2sinxcosx=cos2x+1+sin2x=$\sqrt{2}sin(2x+\frac{π}{4})$+1.
∴$f(x)=\sqrt{2}sin({2x+\frac{π}{4}})+1$.
把f(x)的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得g(x)的图象:g(x)=$\sqrt{2}sin[2(x-\frac{π}{6})+\frac{π}{4}]$+1=$\sqrt{2}sin(2x-\frac{π}{12})$+1.
∴$g(x)=\sqrt{2}sin({2x-\frac{π}{12}})$+1.
由$2kπ-\frac{π}{2}$$≤2x-\frac{π}{12}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ,解得$kπ-\frac{5π}{24}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{24}$,k∈Z.
∴g(x)的增区间$[{kπ-\frac{5π}{24},kπ+\frac{7π}{24}}],k∈Z$.
(2)∵当$\vec a≠\vec 0,\vec a$与$\vec b$共线时,
∴4cos2x-sinxcosx=0,
∴tanx=4.
∴f(x)=2cos2x+2sinxcosx=$\frac{2co{s}^{2}x+2sinxcosx}{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$=$\frac{2+2tanx}{ta{n}^{2}x+1}$=$\frac{2+2×4}{{4}^{2}+1}$=$\frac{10}{17}$.

点评 本题考查了数量积运算性质、倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质、图象变换、同角三角函数基本关系式、向量共线定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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