Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）在一个周期内的图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）设0＜x＜π，且方程f（x）=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和．

Answer 1

分析：（1）通过函数的图象求出A，图象过（0，1）点，
求出?，利用图象求出函数的周期，得到ω，即可求出函数的解析式；
（2）设0＜x＜π，且方程f（x）=m有两个不同的实数根，通过函数的图象结合函数的对称轴，直接求实数m的取值范围和这两个根的和．

解答：解：（1）显然A=2，
又图象过（0，1）点，
∴f（0）=1，
∴sin?=

1

2

，
∵|?|＜

π

2

，∴?=

π

6

；
由图象结合“五点法”可知，(

11π

12

，0)对应函数y=sinx图象的点（2π，0），
∴ω•

11π

12

+

π

6

=2π，得ω=2．
所以所求的函数的解析式为：f(x)=2sin(2x+

π

6

)．
（2）如图所示，在同一坐标系中画出y=2sin(2x+

π

6

)和y=m（m∈R）的图象，
由图可知，当-2＜m＜1或1＜m＜2时，直线y=m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根．
∴m的取值范围为：-2＜m＜1或1＜m＜2；
当-2＜m＜1时，两根和为

4π

3

；
当1＜m＜2时，两根和为

π

3

．

点评：本题是中档题，考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的应用，考查计算能力，常考题型．