(1)求△APB的重心G的轨迹方程.
(2)证明∠PFA=∠PFB.
(1)解:设切点A、B坐标分别为(x,x02)和(x1,x12)(x1≠x0),
∴切线AP的方程为2x0x-y-x02=0;切线BP的方程为2x1x-y-x12=0.
解得P点的坐标为xp=,yp=x0x1,
所以△APB的重心G的坐标为xG=,
yG=.
所以yp=-3yG+4xG2,由点P在直线l上运动,
从而得到重心G的轨迹方程为x-(-3y+4x2)-2=0,即y=(4x2-x+2).
(2)证明:证法1:因为=(x0,x02-
),
=(
,x0x1-
),
=(x1,x12-
).由于P点在抛物线外,则|
|≠0. ∴cosAFP=
,?同理有cosBFP=
∴∠AFP=∠PFB.
证法2:①当x1x0=0时,由于x1≠x0,不妨设x0=0,
则y0=0,所以P点坐标为(,0),则P点到直线AF的距离为d1=
;而直线BF的方程:y-
=
x,即(x12-
)x-x1y+
x1=0.所以P点到直线BF的距离为
d2=.
所以d1=d2,即得∠AFP=∠PFB.
②当x1x0≠0时,直线AF的方程:
y-=
,即(x02-
)x-x0y+
x0=0.
直线BF的方程:y-=
(x-0).即(x12-
)x-x1y+
x1=0.
所以P点到直线AF的距离为
d1=,
同理可得到P点到直线BF的距离
d2=,因此由d1=d2,可得到∠AFP=∠PFB.
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