Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AA₁=4，AB=2，E是棱CC₁上的一个动点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面AA₁D₁D；
（Ⅱ）当CE=1时，求二面角B-ED-C的大小；
（Ⅲ）当CE等于何值时，A₁C⊥平面BDE．

Answer 1

【答案】分析：方法一：
（1）证明一条直线与一个平面平行，除了可以根据直线与平面平行的判定定理以外，通常还可以通过平面与平面平行进行转化，比如在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面BB₁C₁C∥平面AA₁D₁D，BE?平面BB₁C₁C，所以BE∥平面AA₁D₁D．
（2）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．BC⊥平面C₁CDD₁，所以过C作CH⊥ED于H，连接BH，则∠BHC是二面角B-ED-C的平面角．
（3）由三垂线定理可知，A₁C⊥BD；故只需要在平面BDE再构造一条相交直线与A₁C垂直即可：连接B₁C，因为A₁B₁⊥平面B₁BCC₁，所以B₁C是A₁C在平面B₁BCC₁上的射影，由三垂线定理可知，只需B₁C⊥BE，则A₁C⊥BE
方法二：
以A为坐标原点，分别以AB、AD、AA₁为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．
解答：解：方法一：
（Ⅰ）证明：由已知，ABCD-A₁B₁C₁D₁为正四棱柱，
所以平面BB₁C₁C∥平面AA₁D₁D，
又因为BE?平面BB₁C₁C，
所以，BE∥平面AA₁D₁D．（4分）

（Ⅱ）解：如图，过C作CH⊥ED于H，连接BH．
因为ABCD-A₁B₁C₁D₁为正四棱柱，所以BC⊥平面C₁CDD₁．
则CH是斜线BH在面C₁CDD₁上的射影，所以BH⊥ED．
所以∠BHC是二面角B-ED-C的平面角．
在Rt△ECD中，易知CH•ED=EC•CD．
因为，所以．
在Rt△BCH中，，所以，
所以，二面角B-ED-C的大小是．（9分）

（Ⅲ）如图，连接AC交BD于点O，
因为ABCD-A₁B₁C₁D₁为正四棱柱，AC⊥BD，AA₁⊥平面ABCD，
由三垂线定理可知，A₁C⊥BD．
连接B₁C，因为A₁B₁⊥平面B₁BCC₁，
所以B₁C是A₁C在平面B₁BCC₁上的射影．
要使A₁C⊥平面BDE，只需A₁C⊥BE，由三垂线定理可知，只需B₁C⊥BE．
由平面几何知识可知，
B₁C⊥BE?△BCE∽△B₁BC?．
由已知BB₁=AA₁=4，BC=AB=2，所以．
即当CE=1时，A₁C⊥平面BDE．（14分）

方法二：
建立空间直角坐标系A-xyz，如图．
（Ⅰ）证明：依题意可设E（2，2，z），
因为B（2，0，0），所以=（0，2，z）．
又因为，为平面AA₁D₁D的法向量．
且，
所以，而BE?平面AA₁D₁D，
所以，BE∥平面AA₁D₁D．

（Ⅱ）因为CE=1，所以E（2，2，1），又B（2，0，0），D（0，2，0），
所以=（0，2，1），．
设平面BDE的法向量为，
由得所以
所以．又AD⊥面CC₁D₁D，所以为平面CDE的法向量．
因为，所以．
由图可知，二面角的平面角小于90°，所以二面角B-ED-C的大小是．

（Ⅲ）解：连接AC交BD于点O．
因为ABCD-A₁B₁C₁D₁为正四棱柱，
所以AC⊥BD．
要使A₁C⊥平面BDE，只需A₁C⊥BE．
由题意B（2，0，0），C（2，2，0），A₁（0，0，4），
设CE=x，则E（2，2，x），
所以，．
由，得（0，2，x）•（2，2，-4）=0×2+2×2+x×（-4）=4-4x=0，
解得x=1．所以CE=1时，A₁C⊥平面BDE．
点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．