Question

为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到1998年底，将当地沙漠绿化了40%.从1999年开始,每年将出现这种现象:原有沙漠面积的12%被绿化,即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲),同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠.问至少经过几年的绿化,才能使该地区的绿洲面积超过50%?(可参考数据lg2=0.3,最后结果精确到整数)?

Answer 1

解析:设该地区总面积为1,1998年底绿化面积为a₁=,

经过n年后绿洲面积为a_n+1?.?

设1998年底沙漠面积为b₁,经过n年后沙漠面积为b_n+1,则a₁+b₁=1,a_n+b_n=1.?

依题意a_n+1由两部分组成:一部分是原有绿洲a_n减去被侵蚀的部分8%·a_n的剩余面积92%·a_n,另一部分是新绿化的12%·b_n,?

∴a _n+1=92%·a_n+12%(1-a_n)= a_n+,a_n+1-=(a_n-).?

∴{a_n-}是以-为首项, 为公比的等比数列,则a_n+1=-()ⁿ.?

∵a_n+1＞50%,∴- ()ⁿ＞.?

∴()ⁿ＜.n＞=＞3.?

则当n≥4时,不等式()ⁿ＜恒成立.?

所以至少需要4年才能使绿化率超过50%.