Question

已知函数，
（1）若x＜a时，f（x）＜1恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若a≥-4时，函数f（x）在实数集R上有最小值，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）因为x＜a时，f（x）=4^x-4×2^x-a，所以令2^x=t，则有0＜t＜2^a，
所以f（x）＜1当x＜a时恒成立，可转化为，
即在t∈（0，2^a）上恒成立，--------------------------------------（2分）．
令，则，------------------------------（3分）．
所以在（0，2^a）上单调递增，-------------（4分）．
所以，所以有：．
所以，所以（2^a）²≤5，所以-----------------------------------------（5分）．
所以．----------------------------（6分）．
（2）当x≥a时，f（x）=x²-ax+1，即，----------（7分）．
①当，∴a≥0时，此时对称轴在区间左侧，开口向上，所以f（x）在[a，+∞）单调递增，
所以f（x）_min=f（a）=1；-------------------------------------------------（8分）．
②当，∴-4≤a＜0时，此时对称轴在区间内，开口向上，所以f（x）在单调递减，在单调递增，所以．
所以由①②可得：当x≥a时有：．---------------------（9分）．
当x＜a时，f（x）=4^x-4×2^x-a，令2^x=t，t∈（0，2^a），则，
③当，∴2^2a＞2，∴时，h（t）在单调递减，在上单调递增；---------------------------------------（10分）．
④当，∴2^2a≤2，∴时，h（t）在（0，2^a）单调递减，h（t）∈（h（2^a），h（0））=（4^a-4，0）
所以，此时，h（t）在（0，2^a）上无最小值；---------------------------------------------（11分）．
所以由③④可得当x＜a时有：当时，；
当时，无最小值．------------------------------（12分）．
所以，由①②③④可得：
当时，因为，所以函数；---------------------------（13分）．
当时，因为4^a-4＜0＜1，函数f（x）无最小值；--------------------------------（14分）．
当-4≤a＜0时，，函数f（x）无最小值．-------------------------（15分）．
综上所述，当时，函数f（x）有最小值为；当时，函数f（x）无最小值．
所以函数f（x）在实数集R上有最小值时，实数a的取值范围为．---------（16分）．
分析：（1）令2^x=t，则有0＜t＜2^a，f（x）＜1当x＜a时恒成立，可转化为，分离参数可得在t∈（0，2^a）上恒成立，求出右边的最值，即可得到结论；
（2）当x≥a时，f（x）=x²-ax+1，利用配方法，分类讨论，可求函数的最小值；当x＜a时，f（x）=4^x-4×2^x-a，令2^x=t，t∈（0，2^a），利用配方法，分类讨论，可求函数的最小值，从而可得函数f（x）在实数集R上有最小值时，实数a的取值范围．
点评：本题考查分段函数，考查函数的最值，考查配方法的运用，考查分离参数法，属于中档题．