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已知函数数学公式
(1)若x<a时,f(x)<1恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若a≥-4时,函数f(x)在实数集R上有最小值,求实数a的取值范围.

解:(1)因为x<a时,f(x)=4x-4×2x-a,所以令2x=t,则有0<t<2a
所以f(x)<1当x<a时恒成立,可转化为
在t∈(0,2a)上恒成立,--------------------------------------(2分).
,则,------------------------------(3分).
所以在(0,2a)上单调递增,-------------(4分).
所以,所以有:
所以,所以(2a2≤5,所以-----------------------------------------(5分).
所以.----------------------------(6分).
(2)当x≥a时,f(x)=x2-ax+1,即,----------(7分).
①当,∴a≥0时,此时对称轴在区间左侧,开口向上,所以f(x)在[a,+∞)单调递增,
所以f(x)min=f(a)=1;-------------------------------------------------(8分).
②当,∴-4≤a<0时,此时对称轴在区间内,开口向上,所以f(x)在单调递减,在单调递增,所以
所以由①②可得:当x≥a时有:.---------------------(9分).
当x<a时,f(x)=4x-4×2x-a,令2x=t,t∈(0,2a),则
③当,∴22a>2,∴时,h(t)在单调递减,在上单调递增;---------------------------------------(10分).
④当,∴22a≤2,∴时,h(t)在(0,2a)单调递减,h(t)∈(h(2a),h(0))=(4a-4,0)
所以,此时,h(t)在(0,2a)上无最小值;---------------------------------------------(11分).
所以由③④可得当x<a时有:当时,
时,无最小值.------------------------------(12分).
所以,由①②③④可得:
时,因为,所以函数;---------------------------(13分).
时,因为4a-4<0<1,函数f(x)无最小值;--------------------------------(14分).
当-4≤a<0时,,函数f(x)无最小值.-------------------------(15分).
综上所述,当时,函数f(x)有最小值为;当时,函数f(x)无最小值.
所以函数f(x)在实数集R上有最小值时,实数a的取值范围为.---------(16分).
分析:(1)令2x=t,则有0<t<2a,f(x)<1当x<a时恒成立,可转化为,分离参数可得在t∈(0,2a)上恒成立,求出右边的最值,即可得到结论;
(2)当x≥a时,f(x)=x2-ax+1,利用配方法,分类讨论,可求函数的最小值;当x<a时,f(x)=4x-4×2x-a,令2x=t,t∈(0,2a),利用配方法,分类讨论,可求函数的最小值,从而可得函数f(x)在实数集R上有最小值时,实数a的取值范围.
点评:本题考查分段函数,考查函数的最值,考查配方法的运用,考查分离参数法,属于中档题.
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