Question

在△ABC中，已知AC=2，AB=1，且角A、B、C满足cos2A+2sin2

B+C

2

=1．
（I）求角A的大小和BC边的长；
（II）若点P是线段AC上的动点，设点P到边AB、BC的距离分别是x，y．试求xy的最大值，并指出P点位于何处时xy取得最大值．

Answer 1

分析：（I）通过二倍角的余弦函数，化简表达式，求出在△ABC中cosA 的值，即可得到A的值．
（II）利用正弦定理求出B的值，建立坐标系，利用基本不等式求出xy的最大值即可．

解答：解：（I）因为cos2A+2sin2

B+C

2

=1，
所以2cso²A+cosA-1=0，∴cosA=

1

2

，cosA=-1（舍去），
所以A=

π

3

，由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=2²+1²-2×2×1×

1

2

=3，
所以BC边的长为

3

；
（II）由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

，sinB=

b

a

sinA=

2

3

×

3

2

=1，B=

π

2

．以B为原点建立坐标系如图，
P（x，y）P在线段AC 上，所以x+

3

y=

3

（x，y≥0）由基本不等式可得：

3

=x+

3

y≥2

3 xy

，可知xy≤

3

4

，
当x=

3

，y=

3

2

时等号成立．
所以当P点与线段AC的中点重合时，xy取得最大值

3

4

．

点评：本题主要考查余弦定理，二倍角公式及诱导公式的应用，基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．