Question

已知几何体A-BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
（1）求此几何体的体积V的大小；
（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值．

Answer 1

（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，
∴S梯形BCED=

1

2

×(4+1)×4=10
∴即该几何体的体积V=

1

3

•S梯形BCED•AC=

1

3

×10×4=

40

3

．（5分）
（2）解法1：过点B作BF∥ED交EC于F，连接AF，
则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．（7分）
在△BAF中，∵AB=4

2

，BF=AF═

16+9

=5．
∴cos∠ABF=

BF2+AB2-AF2

2BF•AB

=

2 2

5

．
即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为

2 2

5

．（12分）
解法2：
以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．（6分）
则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）
∴

DE

=(0，-4，3)，

AB

=(-4，4，0)，（8分）
∴cos＜

DE

，

AB

＞=-

2 2

5

∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为

2 2

5

．（12分）