Question

已知集合A={x|-1≤x≤0}，集合B={x|ax+b•2^x-1＜0，0≤a≤2，1≤b≤3}．
（1）若a，b∈N，求A∩B≠∅的概率；
（2）若a，b∈R，求A∩B=∅的概率．

Answer 1

（1）因为a，b∈N，（a，b）可取（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）共9组．
令函数f（x）=ax+b•2^x-1，x∈[-1，0]，则f′（x）=a+bln2•2^x．
因为a∈[0，2]，b∈[1，3]，所以f′（x）＞0，即f（x）在[-1，0]上是单调递增函数．
f（x）在[-1，0]上的最小值为-a+

b

2

-1．要使A∩B≠∅，只需-a+

b

2

-1＜0，
即2a-b+2＞0．所以（a，b）只能取（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）7组．
所以A∩B≠∅的概率为

7

9

．

（2）因为a∈[0，2]，b∈[1，3]，
所以（a，b）对应的区域为边长为2的正方形（如图），面积为4．
由（1）可知，要使A∩B=∅，
只需f（x）_min=-a+

b

2

-1≥0⇒2a-b+2≤0，
所以满足A∩B=∅的（a，b）对应的区域是如图阴影部分．
所以S_阴影=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

，所以A∩B=∅的概率为：P=

1

16

．