Question

8．已知直线l₁：（2a+b）x+（a+b）y+a-b=0与直线l₂：m²x+2y-2n²=0恒有一个公共点，则m+n的最大值为$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 求出直线（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0过定点（-2，3），直线m²x+2y-2n²=0也过定点（-2，3），将点坐标代入m²x+2y-2n²=0，可得-2m²+6-2n²=0，即点（m，n）在圆m²+n²=3上，即可求出圆m+n的最大值．

解答 解：因为（2a+b）x+（a+b）y+a-b=（2x+y+1）a+（x+y-1）b=0对于任意的a，b都成立，所以2x+y+1=0且x+y-1=0，二者联立，解得x=-2，y=3，即直线（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0过定点（-2，3）．
因此直线m²x+2y-2n²=0也过定点（-2，3），将点坐标代入m²x+2y-2n²=0，可得-2m²+6-2n²=0，即点（m，n）在圆m²+n²=3上．
∵2（m²+n²）≥（m+n）²，
∴m+n≤$\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 本题考查直线与圆方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．