Question

（本小题满分13分）

已知数列{}满足,

（I）写出,并推测的表达式；

（II）用数学归纳法证明所得的结论。

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) ＝, ＝, ＝,    猜测 ；(Ⅱ) 见解析。

【解析】本试题主要是考查了数列的归纳猜想的运用，以及数学归纳法证明的问题你运用。

（1）因为＝, ＝, ＝,    猜测

（2）根据数学归纳法分为两步骤证明，注意要用到假设。

解： (Ⅰ) ＝, ＝, ＝,    猜测    （4分）  

    (Ⅱ) ①由（Ⅰ）已得当n＝1时，命题成立；        

②假设时,命题成立，即＝2－,       （6分）

那么当时, ＋＋……＋＋2＝2(k＋1)＋1,

且＋＋……＋＝2k＋1－  （8分）

∴2k＋1－＋2a_k＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,

∴2＝2＋2－,  ＝2－,                  

即当n＝k＋1时,命题成立.                          

根据①②得n∈N⁺  , ＝2－都成立    （13分）