Question

（普通班做）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G是CC₁，BC，CD的中点．
求证：①AB₁∥平面CDD₁C₁；
②平面EFG∥平面BC₁D．

Answer 1

分析：①在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，先证明四边形ADC₁B₁为平行四边形，可得AB₁∥DC₁．再利用直线和平面平行的判定定理证得 AB₁∥平面CDD₁C₁．
②根据FG是△BCD的中位线，故有FG∥BD，从而证明FG∥平面BC₁D，同理可证EF∥平面BC₁D．再根据平面和平面平行的判定定理证得平面EFG∥平面BC₁D．

解答：解：①在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由于AD和B₁C₁平行且相等，
故四边形ADC₁B₁为平行四边形，故AB₁∥DC₁．
而DC₁在平面CDD₁C₁中，AB₁不在平面CDD₁C₁中，故有 AB₁∥平面CDD₁C₁．
②由于E，F，G是CC₁，BC，CD的中点，故FG是△BCD的中位线，故有FG∥BD．
而BD在平面BC₁D内，FG不在平面BC₁D内，故有FG∥平面BC₁D，
同理可证EF∥平面BC₁D．
由于EF和FG是平面EFG内的2条相交直线，故有平面EFG∥平面BC₁D．

点评：本题主要考查正方体的性质，直线和平面平行的判定定理，平面和平面平行的判定定理的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．