Question

13．已知x＞0，求证：x+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$≥$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 设t=x+$\frac{1}{x}$，先根据基本不等式求出t的范围，再构造函数，构造函数的单调性求出函数的最小值，问题得以证明．

解答 证明：设t=x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，当且仅当x=1时取等号，
则x+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$=t+$\frac{1}{t}$，
设f（t）=t+$\frac{1}{t}$，
∴f′（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0恒成立，
∴f（t）在[2，+∞）为增函数，
∴f（t）≥f（2）=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴x+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$≥$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查基本不等式和函数的单调性求最值，属于中档题．