Question

数列{a_n}满足a₁=1,a_n+1=(n²+n-λ)a_n(n=1,2,…),λ是常数.
(1)当a₂=-1时,求λ及a₃的值.
(2)数列{a_n}是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由.

Answer 1

(1) λ=3   a₃=-3.     (2) 不可能，理由见解析

(1)由于a_n+1=(n²+n-λ)a_n(n=1,2,…),
且a₁=1,所以当a₂=-1时,得-1=2-λ,
故λ=3.从而a₃=(2²+2-3)×(-1)=-3.
(2)数列{a_n}不可能为等差数列,理由如下:
由a₁=1,a_n+1=(n²+n-λ)a_n,得
a₂=2-λ,a₃=(6-λ)(2-λ),
a₄=(12-λ)(6-λ)(2-λ).
若存在λ,使{a_n}为等差数列,则a₃-a₂=a₂-a₁,
即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3.
于是a₂-a₁=1-λ=-2,
a₄-a₃=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24.
这与{a_n}为等差数列矛盾.
所以,对任意λ,{a_n}都不可能是等差数列.