Question

设a∈R，函数f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(

π

2

-x)满足f(-

π

3

)=f(0)．
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）设锐角△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且

a2+c2-b2

a2+b2-c2

=

c

2a-c

，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据三角函数的公式将f（x）进行化简，然后求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）根据余弦定理将条件进行化简，即可得到f（A）的取值范围．

解答：解：（I）f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(

π

2

-x)=

a

2

sin2x-cos2x，
由f(-

π

3

)=f(0)得：-

3 a

4

+

1

2

=-1，
∴a=2

3

．
∴f(x)=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)，
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3

2

π得：kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5

6

π，k∈Z
∴f（x）的单调递减区间为：[kπ+

π

3

，kπ+

5

6

π]．
（II）∵

a2+c2-b2

a2+b2-c2

=

c

2a-c

，
由余弦定理得：

2accosB

2abcosC

=

ccosB

bcosC

=

c

2a-c

，
即2acosB-ccosB=bcosC，
由正弦定理得：2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
即cosB=

1

2

，
∴B=

π

3

∵△ABC锐角三角形，
∴

π

6

＜A＜

π

2

，

π

6

＜2A-

π

6

＜

5π

6

，
∴f(A)=2sin(2A-

π

6

)的取值范围为（1，2]．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，以及正弦定理和余弦定理的应用，考查学生的计算能力．