Question

20．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，其外接圆半径为6，$\frac{b}{1-cosB}$=24，$sinA+sinC=\frac{4}{3}$
（1）求cosB；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理及条件$\frac{b}{1-cosB}$=24⇒$\frac{2×6sinB}{1-cosB}$=24，可得2（1-cosB）=sinB，再利用平方关系，从而可求得cosB；
（2）利用正弦定理及条件sinA+sinC=$\frac{4}{3}$，可得a+c=16，利用面积公式表示面积，借助于基本不等式可求△ABC的面积的最大值．

解答 解：（1）$\frac{b}{1-cosB}$=24⇒$\frac{2×6sinB}{1-cosB}$=24
∴2（1-cosB）=sinB （3分）
∴4（1-cosB）²=sin²B=（1-cosB）（1+cosB）
∵1-cosB≠0，
∴4（1-cosB）=1+cosB，
∴cosB=$\frac{3}{5}$，
（2）∵sinA+sinC=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{a}{12}$+$\frac{c}{12}$=$\frac{4}{3}$，即a+c=16．
又∵cosB=$\frac{3}{5}$，∴sinB=$\frac{4}{5}$．
∴S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{2}{5}$ac≤$\frac{2}{5}$•$（\frac{a+c}{2}）^{2}$=$\frac{128}{5}$•
当且仅当a=c=8时，S_max=$\frac{128}{5}$．

点评 本题以三角形为载体，考查正弦定理的运用，考查基本不等式，关键是边角之间的互化．