Question

如图，在正四棱柱ABC-A₁B₁C₁D₁中，DC=DA=2，DD₁=4，点E在C₁C上，且CE=1．
（1）求异面直线A₁D与B₁B所成角的正切值；
（2）求证：A₁C⊥平面DBE；
（3）求二面角A₁-DE-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）说明∠AA₁D是异面直线A₁D与B₁B所成角，解三角形AA₁D，直接求异面直线A₁D与B₁B所成角的正切值；
（2）建立空间直角坐标系D-xyz，求出

DE

，

DB

，

A1C

，计算

A1C

•

DB

=0，

A1C

•

DE

=0，即可证明A₁C⊥平面DBE；
（3）向量

A1C

为平面DBE的一个法向量，求出平面DA₁E的法向量

n

，利用cos?

n

，

A1C

?=

n • A1C

| n || A1C |

求二面角A₁-DE-B的余弦值．

解答：解：如图，建立空间直角坐标系D-xyz．
则B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A₁（2，0，4）．

DE

=(0，2，1)，

DB

=(2，2，0)，

A1C

=(-2，2，-4)，

DA1

=(2，0，4)
（1）解：∵AA₁∥BB₁
∴∠AA₁D是异面直线A₁D与B₁B所成角
∵在Rt△AA₁D中，A₁A=4，AD=2
∴tan∠AA1D=

1

2

即异面直线A₁D与B₁B所成角的正切值为

1

2

．

（2）证明：∵

A1C

•

DB

=-4+4+0=0，

A1C

•

DE

=0+4-4=0，
∴A₁C⊥BD，A₁C⊥DE
又DB∩DE=D
∴A₁C⊥平面DBE．

（3）解：由（2）知向量

A1C

为平面DBE的一个法向量
设平面DA₁E的法向量

n

=（x，y，z）
由n⊥

DE

，n⊥

DA1

得2y+z=0，2x+4z=0
令z=-2，得x=4，y=1，
∴

n

=（4，1，-2）cos?

n

，

A1C

?=

n • A1C

| n || A1C |

=

14

42

又二面角A₁-DE-B为锐角
∴二面角A₁-DE-B的余弦值为

14

42

点评：本题考查用向量证明垂直，二面角及其度量，异面直线所成的角，考查学生分析问题解决问题的能力，计算能力，是中档题．