Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中，AP=BQ=b（0＜b＜1），截面PQEF∥A′D，截面PQGH∥AD′．
（1）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；
（2）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；
（3）若D′E与平面PQEF所成的角为45°，求D′E与平面PQGH所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（解法一）
（Ⅰ）由题意得 A′D∥PF，PH∥AD′，PQ∥AB，又因AD′⊥A′D，AD′⊥AB，得到PH⊥PF，PH⊥PQ，
可证PH⊥平面PQEF，用面面垂直的判定定理即证．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PF=

2

AP，PH=

2

PA′，PQ=1，代入
面积公式求解．
（Ⅲ）连接BC′交EQ于点M，得到平面ABC′D′∥平面PQGH，所求的角转化到D′E与平面ABC′D′所成
角，由（Ⅰ）知EM⊥平面ABC′D则′EM与D′E的比值就是所求的正弦值，根据已知条件求出b的
值，在直角三角形中求解．
（解法二）
（Ⅰ）用数量积为零求平面PQEF的法向量

AD′

和平面PQGH的法向量

A′D

，求它们的数量积为零证出
面面垂直．
（Ⅱ）用数量积为零证出截面PQEF和截面PQGH都是矩形，用两点间的距离公式求出邻边得长度，再
求面积和．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面PQEF和平面PQGH的法向量，用数量积根据已知条件先求出b的值，再求向量所
成角的余弦值．

解答：解：解法一：
（Ⅰ）证明：∵面PQEF∥A′D，平面PQEF∩平面A′ADD′=PF
∴A′D∥PF，同理可得PH∥AD′，
∵AP=BQ=b，AP∥BQ；∴APBQ是平行四边形，∴PQ∥AB，
∵在正方体中，AD′⊥A′D，AD′⊥AB，
∴PH⊥PF，PH⊥PQ，
∴PH⊥平面PQEF，PH?平面PQGH．
∴平面PQEF⊥平面PQGH．（4分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
PF=

2

AP，PH=

2

PA′，截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，
∴截面PQEF和截面PQGH面积之和是(

2

AP+

2

PA′)×PQ=

2

，是定值．（8分）

（Ⅲ）解：连接BC′交EQ于点M．
∵PH∥AD′，PQ∥AB；PH∩PQ=P，AD′∩AB=A
∴平面ABC′D′∥平面PQGH，
∴D′E与平面PQGH所成角与D′E与平面ABC′D′所成角相等．
由（Ⅰ）同理可证EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面ABC′D′，
∴EM与D′E的比值就是所求的正弦值．
设AD′交PF于点N，连接EN，由FD=1-b知
D′E=

(1-b)2+2

，ND′=

2

2

+

2

2

(1-b)．
∵AD′⊥平面PQEF，又已知D′E与平面PQEF成45°角，
∴D′E=

2

ND′，即

2

[

2

2

+

2

2

(1-b)]=

(1-b)2+2

，
解得b=

1

2

，可知E为BC中点．
∴EM=

2

4

，又D′E=

(1-b)2+2

=

3

2

，
∴D′E与平面PQCH所成角的正弦值为

EM

D′E

=

2

6

．（12分）

解法二：
以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D-xyz由已知得DF=1-b，
故A（1，0，0），A′（1，0，1），D（0，0，0），D′（0，0，1），P（1，0，b），Q（1，1，b），
E（1-b，1，0），F（1-b，0，0），G（b，1，1），H（b，0，1）．
（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，
可得

PQ

=(0，1，0)，

PF

=(-b，0，-b)，

PH

=(b-1，0，1-b)，

AD′

=(-1，0，1)，

A′D

=(-1，0，-1)．
∵

AD′

•

PQ

=0，

AD′

•

PF

=0，∴

AD′

是平面PQEF的法向量．
∵

A′D

•

PQ

=0，

A′D

•

PH

=0，∴

A′D

是平面PQGH的法向量．
∵

AD′

•

A′D

=0，∴

A′D

⊥

AD′

，
∴平面PQEF⊥平面PQGH．（4分）

（Ⅱ）证明：∵

EF

=(0，-1，0)，
∴

EF

∥

PQ

，

|EF|

=

|PQ|

，
又∵

PF

⊥

PQ

，∴PQEF为矩形，同理PQGH为矩形．
在坐标系中可求得

|PH|

=

2

(1-b)，

|PF|

=

2

b，
∴

|PH|

+

|PF|

=

2

，又

|PQ|

=1，
∴截面PQEF和截面PQGH面积之和为

2

，是定值．（8分）

（Ⅲ）解：由已知得

D′E

与

AD′

成45°角，又

D′E

=(1-b，1，-1)，

AD′

=(-1，0，1)
可得|

D′E • AD′

|D′E| |AD′|

|=|

b-2

2 (1-b)2+2

|=

2

2

，
即

2-b

(1-b)2+2

=1，解得b=

1

2

．
∴

D′E

=(

1

2

，1，-1)，又

A′D

=(-1，0，-1)，
∴D′E与平面PQGH所成角的正弦值为|cos＜

D′E

，

A′D

＞|=|

- 1 2 +1

3 2 × 2

|=

2

6

．（12分）

点评：本题主要考查空间中的线面、面面垂直和平行的定理，线面角的求法，解三角形等基础知识；本题为一题多解的情况，一种是向量法，另一种是几何法，对于求线面角向量法简单，因用此法；还考查转化思想与逻辑思维能力，属于难度很大的题．