Question

某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：①原材料费每件50元；②职工工资支出7500+20x元；③电力与机器保养等费用为x²-30x+600元：其中x是该厂生产这种产品的总件数．
（I）把每件产品的成本费p（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；
（Ⅱ）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过170件且能全部销售，根据市场调查，每件产品的销售价为Q（x）（元），且
Q（x）=1240-

1

30

x2．试问生产多少件产品，总利润最高？并求出最高总利润．（总利润=总销售额-总的成本）

Answer 1

分析：（I）根据每件产品的成本费P（x）等于三部分成本和，建立函数关系，再利用基本不等式求出最值即可；
（Ⅱ）设总利润为y元，根据总利润=总销售额-总的成本求出总利润函数，利用函数与导数知识方法求解．

解答：解：（I）P（x）=50+

7500+20x

x

+

x2-30x+600

x

=

8100

x

+x+40．
由基本不等式得P（x）≥2

8100 x •x

+40=220．当且仅当

8100

x

=x，即x=90时，等号成立．
所以P（x）=

8100

x

+x+40．每件产品的最低成本费为220 元．
（Ⅱ）设总利润为y=f（x）=xQ（x）-xP（x）=-

1

30

x3 -x2+1200x-8100，
f′（x）=-

1

10

x2 -2x +1200=-

1

10

（x-100）（x+120）
当0＜x＜100时，f′（x）＞0，当x＞100时，f′（x）＜0．
所以f（x）在（0，100）单调递增，在（100，170）单调递减，
所以当x=100时，ymax=f（100）=

205700

3

故生产100件产品时，总利润最高，最高总利润为

205700

3

．

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，以及函数与导数知识方法，同时考查了建模的能力，属于中档题．