【题目】如图,已知四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,且∠DAB=90°,∠ABC=45°,CB= ,AB=2,PA=1.
(1)求证:BC⊥平面PAC;
(2)若M是PC的中点,求二面角M﹣AD﹣C的大小.
【答案】
(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,
在△ABC中,由余弦定理可得:AC2= ﹣2× =2,
∴AC2+BC2=AB2=4,
∴∠ACB=90°,即AC⊥BC,
又PC∩AC=A,∴BC⊥平面PAC
(2)解:由(1)可得:AD=CD=1,分别以AD,AB,AP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.
则A(0,0,0),D(1,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),M( , , ),取平面ACD的法向量 = =(0,0,1).
设平面ADM的法向量为 =(x,y,z), =( , , ), =(1,0,0).
由 ,得 ,取 =(0,1,﹣1).
cos = = ,
设二面角M﹣AD﹣C的大小为θ,易知θ为锐角.∴cosθ= ,θ=45°.
∴二面角M﹣AD﹣C的大小为45°.
【解析】(1)由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥BC.在△ABC中,由余弦定理可得:AC2=2,因此AC2+BC2=AB2 , 可得AC⊥BC,即可证明BC⊥平面PAC.(2)由(1)可得:AD=CD=1,分别以AD,AB,AP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.取平面ACD的法向量 = =(0,0,1).设平面ADM的法向量为 =(x,y,z),由 ,可得 .利用cos = ,即可得出.
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定是解答本题的根本,需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.
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【题目】已知具有相关关系的两个变量之间的几组数据如下表所示:
(1)请根据上表数据在网格纸中绘制散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程,并估计当时, 的值;
(3)将表格中的数据看作五个点的坐标,则从这五个点中随机抽取3个点,记落在直线右下方的点的个数为,求的分布列以及期望.
参考公式: , .
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【题目】已知椭圆: 的离心率为,且椭圆过点,记椭圆的左、右顶点分别为,点是椭圆上异于的点,直线与直线分别交于点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作椭圆的切线,记,且,求的值.
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【题目】已知直线l过点P(0,﹣4),且倾斜角为 ,圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ.
(1)求直线l的参数方程和圆C的直角坐标方程;
(2)若直线l和圆C相交于A、B两点,求|PA||PB|及弦长|AB|的值.
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【题目】已知函数f(x)为二次函数,且f(x﹣1)+f(x)=2x2+4.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈[t,t+2],t∈R时,求函数f(x)的最小值(用t表示).
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【题目】已知f(x)是二次函数,若f(0)=0且f(x+1)﹣f(x)=x+1,求函数f(x)的解析式,并求出它在区间[﹣1,3]上的最大、最小值.
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【题目】如图,将绘有函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, <φ<π)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角,若AB之间的空间距离为 ,则f(﹣1)=( )
A.﹣2
B.2
C.-
D.
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