Question

（2006•广州模拟）把正整数排列成如图所示的数阵．
（Ⅰ）求数阵中前10行所有的数的个数及第10行最右边的数；
（Ⅱ）求第n行最左边及最右边的数；
（Ⅲ）2007位于数阵的第几行的第几个数（从左往右数）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）数阵的第n行有n个数，所以前10行的数的个数有：1+2+3+…+10=55，从而得到第10行最右边的数．
（Ⅱ）根据第n行有n个数，可得前n行所有个数为：1+2+3+…+n=

1

2

n(n+1)，从而求得第n行最左边及最右边的数．
（Ⅲ）根据n=63时，第63行最左边的数为：

1

2

×63×62+1=1954，第63行最右边的数为：

1

2

×64×63=2016，可得
2007位于数阵的第63行的第54个数．

解答：解：（Ⅰ）数阵的第n行有n个数，所以前10行的数的个数有：1+2+3+…+10=55．
又正整数列第n个数前（包括第n个数）所有数的个数为n，
所以第10行最右边的数为55．    …（2分）
（Ⅱ）前n行所有个数为：1+2+3+…+n=

1

2

n(n+1)，…（4分）
所以，第n行最右边的数为 

1

2

n(n+1)．
第n行最左边的数为

1

2

n(n+1)-(n-1)=

1

2

n2-

1

2

n+1．  …（6分）
（Ⅲ）又n=63时，第63行最左边的数为：

1

2

×63×62+1=1954，
第63行最右边的数为：

1

2

×64×63=2016，…（8分）
所以2007位于第63行．
又因为2007-1954=53，故2007位于第63行的第54位．   …（10分）

点评：本题主要考查归纳推理，等差数列的通项公式，前n项和公式及其应用，属于基础题．