【题目】设x,y∈R,定义xy=x(a﹣y)(a∈R,且a为常数),若f(x)=ex , g(x)=e﹣x+2x2 , F(x)=f(x)g(x).
①g(x)不存在极值;
②若f(x)的反函数为h(x),且函数y=kx与函数y=|h(x)|有两个交点,则k= ;
③若F(x)在R上是减函数,则实数a的取值范围是(﹣∞,﹣2];
④若a=﹣3,在F(x)的曲线上存在两点,使得过这两点的切线互相垂直.
其中真命题的序号有 . (把所有真命题序号写上)
【答案】②③
【解析】解:∵xy=x(a﹣y),f(x)=ex,g(x)=e﹣x+2x2,
∴F(x)=f(x)g(x)=ex(a﹣e﹣x﹣2x2),
则F′(x)=﹣ex(2x2+4x﹣a),
当2x2+4x﹣a=0的△>0时,g(x)即有极大值,又有极小值,故①错误;
∵f(x)的反函数为h(x),
∴h(x)=lnx,若函数y=kx与函数y=|h(x)|有两个交点,
则y=kx与函数y=lnx,(x>1)相切,
此时切点为(e,1),切线斜率为 ;
故②正确;
若F(x)在减函数,则F′(x)≤0对于x∈R恒成立,
即﹣ex(2x2+4x﹣a)≤0恒成立,
∵﹣ex<0,
∴2x2+4x﹣a≥0恒成立,
∴△=16﹣8(﹣a)≤0,
∴a≤﹣2;
即实数a的取值范围是(﹣∞,﹣2],故③正确;
④当a=﹣3时,F(x)=﹣3ex﹣1﹣2x2ex,
设P(x1,y1),Q(x2,y2)是F(x)曲线上的任意两点,
∵F′(x)=﹣ex(2x2+4x+3)
=﹣ex[2(x+1)2+1]<0,
∴F′(x1)F′(x2)>0,
∴F′(x1)F′(x2)=﹣1 不成立.
∴F(x)的曲线上不存的两点,使得过这两点的切线点互相垂直.
故④错误;
故真命题的序号为:②③,
所以答案是:②③
【考点精析】本题主要考查了命题的真假判断与应用的相关知识点,需要掌握两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系才能正确解答此题.
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【题目】已知函数f(x)=lnx﹣x+m(m∈R)的图象与x轴相交于A(x1 , 0),B(x2 , 0)两点,且x1<x2 .
(I)若函数f(x)的最大值为2,求m的值;
(Ⅱ)若 恒成立,求实数k的取值范围;
(Ⅲ)证明:x1x2<1.
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【题目】已知椭圆C:x2+4y2=4.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)椭圆C的长轴的两个端点分别为A,B,点P在直线x=1上运动,直线PA,PB分别与椭圆C相交于M,N两个不同的点,求证:直线MN与x轴的交点为定点.
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【题目】我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题:粮仓开仓收粮,粮农送来米1512石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得216粒内夹谷27粒,则这批米内夹谷约( )
A.164石
B.178石
C.189石
D.196石
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【题目】设函数 (b≠0).
(1)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数b的取值范围;
(2)求函数f(x)的极值点;
(3)令b=1, ,设A(x1 , y1),B(x2 , y2),C(x3 , y3)是曲线y=g(x)上相异三点,其中﹣1<x1<x2<x3 . 求证: .
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【题目】甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者对本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为 ,乙队中3人答对的概率分别为 ,且各人回答正确与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分.
(Ⅰ)求随机变量ξ的分布列和数学期望;
(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求P(AB).
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【题目】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(x)对x∈R恒成立,当x∈[0,1]时,f(x)=2x , 则f(﹣log224)= .
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