Question

对正整数n，设曲线y=xⁿ(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a_n，则数列{}的前n项和的公式是____________________.

Answer 1

解析：∵y=xⁿ(1-x)，

∴y′=(xⁿ)′(1-x)+(1-x)′·xⁿ=n·x^n-1(1-x)+(-xⁿ).

f′(2)=-n·2^n-1-2ⁿ=(-n-2)·2^n-1.

    在点x=2处点的纵坐标为y=-2ⁿ.

∴切线方程为y+2ⁿ=(-n-2)·2^n-1(x-2)，与y轴交点纵坐标为y=(n+1)·2ⁿ=a_n.

∴==2ⁿ成等比数列.

    首项为2，公比为2.

∴前n项和为=(2ⁿ-1)·2=2ⁿ⁺¹-2.

答案：2ⁿ⁺¹-2