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设函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对任意的正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.已知f(2)=1,且x>1时,f(x)>0.
(1)求f(
12
)的值;
(2)判断y=f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给出你的证明;
(3)解不等式f(x2)>f(8x-6)-1.
分析:(1)由题条件知若能求出f(1)的值,再由1=2×
1
2
即可得到求得f(
1
2
)的值;
(2)题设中有x>1时,f(x)>0,故可令0<x1<x2,由x2=x1
x2
x1
的恒等变形及题设中的恒等式得到f(x1)+f(
x2
x1
)=
f(x2),由此问题得证.做此题时要注意做题步骤,先判断再证明;
(3)由(2)的结论,利用单调性直接将抽象不等式转化为一般不等式求解即可
解答:解:(1)令x=y=1,则可得f(1)=0,
再令x=2,y=
1
2
,得f(1)=f(2)+f(
1
2
),故f(
1
2
)=-1
(2)设0<x1<x2,则f(x1)+f(
x2
x1
)=f(x2
即f(x2)-f(x1)=f(
x2
x1
),
x2
x1
>1,故f(
x2
x1
)>0,即f(x2)>f(x1
故f(x)在(0,+∞)上为增函数
(3)由f(x2)>f(8x-6)-1得f(x2)>f(8x-6)+f(
1
2
)=f[
1
2
(8x-6)],
故得x2>4x-3且8x-6>0,解得解集为{x|
3
4
<x<1或x>3}.
点评:本题考点是抽象函数及其应用,考查抽象函数单调性的证明,对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义,结合题目中所给性质和相应的条件,对任意x1、x2在所给区间内比较f(x2)-f(x1)与0的大小,或
f(x 1)
f(x 2)
的大小.有时根据需要,需作适当的变形:如x1=x2
x1
x2
,x1=x2+x1-x2
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3
2
)与b=f(
15
2
)的大小关系为
a>b
a>b

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1
4
]
时,f(x)≥2x恒成立.则f(
3
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)+f(
5
9
)
=
1
1

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