Question

已知函数f(x)=ax+b

1+x2

(x≥0)，且函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，又g（1）=0，f（

3

）=2-

3

（1）求f（x）的表达式及值域；
（2）问是否存在实数m，使得命题p：f（m²-m）＜f（3m-4）和q：g(

m-1

4

)＞

3

4

满足复合命题p且q为真命题？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）函数表达式的求解主要根据函数性质，如此题中f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称；求值域应先判断函数单调性，再求解
（2）复合命题p且q为真命题即p，q均为真命题，利用函数的单调性以及反函数的性质，求出两个命题不等式的解集即可求出结果．

解答：解：（1）因为函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，g（1）=0，则f（0）=1即b=1，
又由f（

3

）=2-

3

，得

3

a+2=2-

3

，可得a=-1，故f（x）的表达式为f（x）=

1+x2

-x（x≥0）
f（x）=

1+x2

-x=

1

1+x2 +x

在定义域[0，+∞）上单调递减，f（0）=1，又因为f（x）＞0，所以f（x）的值域为（0，1]
（2）复合命题p且q为真命题即要求p，q均为真命题．
命题p：∵f（x）在定义域[0，+∞）上单调递减，
故命题p：f（m²-m）＜f（3m-4）为真命题?m²-m＞3m-4≥0?m≥

4

3

且m≠2；
命题q：g（

m-1

4

）＞

1

4

，因为函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，所以两个函数互为反函数，具有相同的单调性，所以f（

1

4

）=

1+( 1 4 )2

-

1

4

=

2 17 -1

4

，所以

m-1

4

＜

2 17 -1

4

，即m＜2

17

．
p，q均为真命题时m的范围是[

4

3

，2)∪(2，2

17

]．

点评：本题考查函数与方程的综合应用，涉及函数的单调性、反函数、分式不等式的解法、命题的真假判断等知识，考查分析问题解决问题的能力．