Question

已知函数f（x）对?a、b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且当x＞0时，f（x）＞1．求证：f（x）在R上是增函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：用定义法证明单调性一般可以分为五步，取值，作差，化简变形，判号，下结论．

解答： 证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则
∵对?a、b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）-1，
又∵当x＞0时，f（x）＞1，
而x₂-x₁＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x）在R上是增函数．

点评：本题考查了函数单调性的证明，一般有两种方法，定义法，导数法．