【题目】以下四个关于圆锥曲线的命题:
①设A,B是两个定点,为非零常数,若,则P的轨迹是双曲线;
②过定圆C上一定点A作圆的弦AB,O为原点,若向量.则动点P的轨迹是椭圆;
③方程的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率;
④双曲线与椭圆有相同的焦点.
其中正确命题的序号为________.
【答案】③④
【解析】
①当时,则动点的轨迹为双曲线,即可判断出;
②过定圆上一定点作圆的动弦,为坐标原点,若,可得点为弦的中点,由垂经定理可得,因此动点的轨迹为圆.
③解方程可得两根,2.利用椭圆与双曲线的离心率的范围即可判断出;
④由双曲线可得,其焦点,同理可得椭圆焦点为;
解:①设、为两个定点,为非零常数,当时,则动点的轨迹为双曲线,因此不正确;
②过定圆上一定点作圆的动弦,为坐标原点,若,可得点为弦的中点,由垂经定理可得,因此动点的轨迹为圆,故不正确.
③解方程可得两根,.因此可以作为椭圆的离心率,可以作为双曲线的离心率,因此方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率,正确;
④由双曲线可得,其焦点,同理可得椭圆焦点为,因此有相同的焦点,正确;
综上可知:其中真命题的序号为 ③④.
故答案为③④.
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【题目】平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,焦点为、,直线经过焦点,并与相交于、两点.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)在上是否存在、两点,满足//,?若存在,求直线的方程;若不存在,说明理由.
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【题目】某小学举办“父母养育我,我报父母恩”的活动,对六个年级(一年级到六年级的年级代码分别为1,2…,6)的学生给父母洗脚的百分比y%进行了调查统计,绘制得到下面的散点图.
(1)由散点图看出,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数加以说明;
(2)建立y关于x的回归方程,并据此预计该校学生升入中学的第一年(年级代码为7)给父母洗脚的百分比.
附注:参考数据:
参考公式:相关系数,若r>0.95,则y与x的线性相关程度相当高,可用线性回归模型拟合y与x的关系.回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为= ,.
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【题目】已知数列1,1,1,2,2,1,2,4,3,1,2,4,8,4,1,2,4,8,16,5,…,其中第一项是,第二项是1,接着两项为,,接着下一项是2,接着三项是,,,接着下一项是3,依此类推.记该数列的前项和为,则满足的最小的正整数的值为( )
A.65B.67C.75D.77
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【题目】已知椭圆的中心在坐标原点,离心率等于,它的一个长轴端点恰好是抛物线的焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知、()是椭圆上的两点,是椭圆上位于直线两侧的动点,且直线的斜率为.
①求四边形APBQ的面积的最大值;
②求证:.
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【题目】已知椭圆C1:x2=1(a>1)与抛物线C2:x2=4y有相同焦点F1.
(1)求椭圆C1的标准方程;
(2)已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2,且与抛物线C2相切于第一象限的点A,设平行l1的直线l交椭圆C1于B,C两点,当△OBC面积最大时,求直线l的方程.
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【题目】国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地。目前德国汉堡、美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出。某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度,选了某小区的100位居民调查结果统计如下:
(1)根据已有数据,把表格数据填写完整;
(2)能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关?
(3)已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性,其中2位是女教师,现从这5名女性中随机抽取3人,求至多有1位教师的概率.
附: , .
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【题目】为庆祝“三八妇女节”,校组织该校48名女教职工参加跳绳与踢毽子两项健身活动.在规则下,成绩统计如图,代表跳绳的次数,代表踢毽子的次数,并设置奖励标准:且为一等奖,每人奖励300元;或为三等奖,每人奖励100元;其余皆为二等奖,每人奖励200元;
(1)试估计该校女教职工获得奖金的平均数;
(2)从该校跳绳成绩的女教职工中随机抽取两人,若对拿到单项最高成绩者额外奖励每人100元,记这两人的奖金之和为,求.
(3)鉴于此项活动健康有趣,导向积极,易于操作,引得其他学校竞相效仿,相继举行此项活动(并设立同样的奖励标准).若以样本估计总体,从参加此项活动的女教职工(人数很多)中随机抽取两人,记这两人所获奖金之和为,求的分布列和数学期望.
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