精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱AB,BC上异于端点的点,
(1)证明△B1MN不可能是直角三角形;
(2)如果M,N分别是棱AB,BC的中点,
(ⅰ)求证:平面B1MN⊥平面BB1D1D;
(ⅱ)若在棱BB1上有一点P,使得B1D面PMN,求B1P与PB的比值.
(1)用反证法.如果△B1MN是直角三角形,
不妨设B1MN=
π
2
,则MN⊥B1M,(1分)
而B1B⊥面ABCD,MN?面ABCD,∴B1B⊥MN,B1B∩B1M=B1,∴MN⊥面ABB1A1,∵AB?面ABB1A1,(2分)∴MN⊥AB,即∠BMN=
π
2
,与∠MBN=
π
2
矛盾!(3分)∴△B1MN不可能是直角三角形.(4分)
(2)连接MN,设MN∩BD=Q则MNAC(5分)
∴AC⊥BD,MN⊥BD(7分)
又∵DD1⊥面ABCD∴DD1⊥MN
∴平面B1MN⊥面BDD1(9分)
(3)连接PM,PN则面PMN∩面BDD1=PQ(10分)
当BD1PQ时,BD1面PMN(11分)
又M,N分别是AB,BC中点
BQ
QD
=
1
3
D1P
PD
=
BQ
QD
=
1
3
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

圆O所在平面为α,AB为直径,C是圆周上一点,且PA⊥AC,PA⊥AB,图中直角三角形有______.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD,E、F、G分别为AB、PC、DC的中点,
(1)求证:EF面PAD;
(2)若PA⊥平面ABCD,求证:面EFG⊥面ABCD.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图所示,四棱锥P-ABCD中,ABCD是矩形,三角形PAD为等腰直角三角形,∠APD=90°,面APD⊥面ABCD,AB=1,AD=2,E,F分别为PC和BD的中点.
(1)求证:EF平面PAD;
(2)证明:平面PAD⊥平面PDC;
(3)求四棱锥P-ABCD的体积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,四边形ABCD是正方形,PB⊥平面ABCD,MA⊥平面ABCD,PB=AB=2MA.求证:
(1)平面AMD平面BPC;
(2)平面PMD⊥平面PBD.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在如图所示的四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,ABDC,∠DAB=90°,PA=AD=DC=1,AB=2,M为PB的中点.
(1)求证:平面PAC⊥平面PBC;
(2)求二面角A-PB-C的平面角的正切值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

正方形ABCD的边长为1,分别取BC、CD的中点E、F,连接AE、EF、AF,以AE、EF、FA为折痕,折叠这个正方形,使B、C、D重合为一点P,得到一个四面体P-AEF,
(1)求证:AP⊥EF;
(2)求证:平面APE⊥平面APF.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知点B与点A(1,2,3)关于M(0,-1,2)对称,则点B的坐标是______.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最大值是(  )
A.2B.2-
C.2+D.4

查看答案和解析>>

同步练习册答案