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    2．如图，点P（x，y）（x＞0，y＞0）是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上的动点，F1，F2是双曲线的焦点，M是∠F1PF2的平分线上一点，且$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{MP}$=0．某同学用以下方法研究|OM|：延长F2M交PF1于点N，可知△PNF2为等腰三角形，且M为F2N的中点，得|OM|=$\frac{1}{2}$|NF1|=…=a．类似地：点P（x，y）（x＞0，y＞0）是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的动点，F1，F2是椭圆的焦点，M是∠F1PF2的平分线上一点，且$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{MP}$=0，则|OM|的取值范围是（0，c）

    分析 利用M是∠F1PF2平分线上的一点，且F2M⊥MP，判断OM是三角形F1F2N的中位线，把OM用PF1，PF2表示，再利用椭圆的焦半径公式，转化为用椭圆上点的横坐标表示，借助椭圆的范围即可求出OM的范围．

    解答 解：如图，延长F2M，交PF1与N点，
    ∵PM是∠F1PF2平分线，且$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{MP}$=0，
    且F2M⊥MP，
    ∴|PN|=|PF2|，M为F2N的中点，
    连接OM，
    ∵O为F1F2中点，M为F2N中点，
    ∴|OM|=$\frac{1}{2}$|F1N|=$\frac{1}{2}$||PF1|-|PN||=$\frac{1}{2}$||PF1|-|PF2||
    ∵在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）中，
    设P点坐标为（x0，y0）
    则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0，
    ∴||PF1|-|PF2||=|a+ex0-a+ex0|=|2ex0|=2e|x0|=$\frac{2c}{a}$|x0|，
    即有|OM|=$\frac{c}{a}$|x0|，
    ∵P点在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，
    ∴|x0|∈（0，a]，
    又∵当|x0|=a时，F2M⊥MP不成立，∴|x0|∈（0，a），
    ∴|OM|∈（0，c）．
    故答案为：（0，c）．

    点评 本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

    练习册系列答案
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    （1）若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，且每个城市都必须由专家组选取，求A城市恰有两有专家组选取的概率；
    （2）在检查的过程中专家组从A城市的居民中随机抽取出400人进行是否户外作业人员与是否患有呼吸道疾病进行了统计，统计结果如下：
     分类 患呼吸道疾病 未患呼吸道疾病 合计
     户外作业人员 40 60 100
     
     非户外作业人员    		 60 240 300
     合计 100 300 400
    根据上述的统计结果，我们是否有超过99%的把握认为“户外作业”与“患有呼吸道疾病”有关？
    K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
     P（K2≥k） 0.50 0.400.25 0.15 0.10  0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
     k 0.4550.708 1.323 0.072 2.706 3.8415.024 6.635 7.879 10.828

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