Question

已知向量，向量与向量夹角为，且，又A、B、C为△ABC的三个内角，且B=，A≤B≤C．
（Ⅰ）求向量；
（Ⅱ）若向量与向量的夹角为，向量，试求的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）设=（x，y），由可得x+y=-1． ①…（2分）
由向量与向量夹角为，得，∴，得x²+y²=1．②…（4分）
由①②解得，可得 =（-1，0），或=（0，-1）． …（6分）
（Ⅱ）由向量与向量=（1，0）垂直知 =（0，-1）． …（7分）
∵△ABC的三个内角中，B=，A≤B≤C，∴，． …（8分）
∴=（cosA，-1）=（cosA，cosC），…（9分）
∴=cos²A+cos²C= …（10分）
====． …（12分）
∵，∴，∴，∴．
∴，即的取值范围是，． …（14分）
分析：（Ⅰ）设=（x，y），由可得x+y=-1，由向量与向量夹角为，求得x²+y²=1，解方程组求得x、y的值，即可求得向量的坐标．
（Ⅱ）由向量与向量=（1，0）垂直知 =（0，-1），求得的坐标，可求得的解析式为，再根据余弦函数的定义域和值域，求得的范围，即可得到的取值范围．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、求向量的模 的方法，三角恒等变换，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．