Question

【题目】△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，面积为S，满足S= （a2+b2﹣c2）．
（1）求C的值；
（2）若a+b=4，求周长的范围与面积S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵S= absinC，cosC= ，

即a2+b2﹣c2=2abcosC，

∴S= （a2+b2﹣c2）变形得： absinC= ×2abcosC，

整理得：tanC= ，

又0＜C＜π，

则C= ；

（2）解：a2+b2﹣c2=2abcosC，可得c2=（a+b）2﹣3ab=16﹣3ab，

由a+b=4≥2 （当且仅当a=b取等号），

即有0＜ab≤4，

则c∈[2，4），

则周长的范围是[6，8）；

△ABC的面积为S= absinC= ab≤ ，

当且仅当a=b=2，取得最大值 ．

【解析】（1）运用三角形的面积公式和余弦定理，结合同角的商数关系，特殊角的三角函数值，可得角C；（2）运用余弦定理和基本不等式，以及三角形的面积公式，可得最大值．