Question

16．甲、乙两人参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，画出茎叶图如图所示，乙的成绩中有一个数个位数字模糊，在茎叶图中用c表示．（把频率当作概率）
（Ⅰ）假设c=5，现要从甲，乙两人中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度，你认为派哪位学生参加比较合适？
（Ⅱ）假设数字c的取值是随机的，求乙的平均分高于甲的平均分的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）c=5时，分别求出甲、乙二人预赛成绩的平均数和方差，由$\overline{{x}_{甲}}$=$\overline{{x}_{乙}}$，${{S}_{甲}}^{2}$＜${{S}_{乙}}^{2}$，得两人的平均成绩相等，但甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适．
（Ⅱ）由$\overline x$_乙＞$\overline x$_甲，得c＞5，由此能求出乙的平均分高于甲的平均分的概率．

解答 解：（Ⅰ）若c=5，则派甲参加比较合适，理由如下：
$\overline{{x}_{甲}}$=$\frac{1}{8}$（70×2+80×4+90×2+9+8+8+4+2+1+5+3）=85，
$\overline{{x}_{乙}}$=$\frac{1}{8}$（70+80×4+90×3+5+3+5+2+5）=85，
${{S}_{甲}}^{2}$=$\frac{1}{8}$[（78-85）²+（79-85）²+（81-85）²+（82-85）²+（84-85）²+（88-85）²+（93-85）²+（95-85）²]=35.5，
${{S}_{乙}}^{2}$=$\frac{1}{8}$[（75-85）²+（80-85）²+（80-85）²+（83-85）²+（85-85）²+（90-85）²+（92-85）²+（95-85）²]=41．
∵$\overline{{x}_{甲}}$=$\overline{{x}_{乙}}$，${{S}_{甲}}^{2}$＜${{S}_{乙}}^{2}$，
∴两人的平均成绩相等，但甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适．
（Ⅱ）若$\overline x$_乙＞$\overline x$_甲，则$\frac{1}{8}$（75+80×4+90×3+3+5+2+c）＞85
∴c＞5，∴c=6，7，8，9
c的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9
∴乙的平均分高于甲的平均分的概率为$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．