Question

已知定义在R上的函数对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0．
（1）判断f（x）的单调性；
（2）若f（1）=-2，解不等式f（3x+4）＞-4．

Answer 1

分析：（1）由题设条件对任意x₁、x₂在所给区间内比较f（x₂）-f（x₁）与0的大小即可；
（2）根据f（1）=-2，则-4=f（2），将不等式等价转化为f（3x+4）＞f（2），再利用函数的单调性即可解得不等式的解集．

解答：解：（1）任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵x＞0时，f（x）＞0，
∴f（x₂-x₁）＞0，
又∵f（x+y）=f（x）+f（y），即f（x+y）-f（x）=f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在R上是单调递增函数．
（2）∵f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=-2，
∴-4=（-2）+（-2）=f（1）+f（1）=f（1+1）=f（2），
∴不等式f（3x+4）＞-4等价转化为f（3x+4）＞f（2），
根据（1）中证明可知，f（x）在R上是单调递增函数，
∴3x+4＞2，解得，x＞-

2

3

，
∴不等式f（3x+4）＞-4的解集为{x|x＞-

2

3

}．

点评：本题考点是抽象函数及其应用，以及灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性，考查了利用单调性解不等式问题．此类题要求答题者有较高的数学思辨能力，能从所给的条件中寻找到证明问题的关键点出来．属于中档题．