Question

已知a为参数，函数f(x)=(x+a)3x-2+a2-(x-a)38-x-3a是偶函数．则a可取值的集合是

{-5，2}

．

Answer 1

分析：由函数为偶函数可得函数满足f（-x）=f（x）对任意的x都成立，代入可求a

解答：解：∵函数f(x)=(x+a)3x-2+a2-(x-a)38-x-3a是偶函数
∴f（-x）=f（x）对任意的x都成立
∴f（-1）=f（1）成立
即(a+1)(3a2-1-39-3a)=(a-1)(3-3+a2- 37-3a)
∴9(a+1)( 3-3+a2 -3^7-3a）=（a-1）（3-3+a2-3^7-3a）
∴(8a+10)•(3-3+a2-37-3a)=0
由f（-2）=f（2）成立同理可得，（80a+164）（36-3a-3-4+a2）=0
∴3-1+a2-39-3a=0（等价于36-3a-3-4+a2=0）
∴a²-1=9-3a
∴a²+3a-10=0
∴a=2或a=-5
故答案为{-5，2}

点评：本题主要考查偶函数的性质，即f（-x）=f（x）对定义域中的任意x满足，属于基础试题