Question

已知点R（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M（x，y）在直线PQ上，且2

PM

+3

MQ

=0，

RP

•

PM

=0，则4x+2y-3的最小值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，设Q（a，0），P（0，b），由2

PM

+3

MQ

=0，可得2（x，y-b）+3（a-x，-y）=0，可得b=-

1

2

y．由

RP

•

PM

=0，可得（3，b）•（x，y-b）=0，可得4x=y²，因此4x+2y-3=y²+2y-3=（y+1）²-4，利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：如图所示，
设Q（a，0），P（0，b），
∵2

PM

+3

MQ

=0，
∴2（x，y-b）+3（a-x，-y）=0，
∴2x+3（a-x）=0，2（y-b）-3y=0，
解得a=

1

3

x，b=-

1

2

y．
∵

RP

•

PM

=0，
∴（3，b）•（x，y-b）=0，
∴3x+b（y-b）=0，
∵3x-

1

2

y(y+

1

2

y)=0，
化为4x=y²，
∴4x+2y-3=y²+2y-3=（y+1）²-4≥-4．
∴4x+2y-3的最小值为-4．
故答案为：-4．

点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．