已知函数f(x)=()x,
函数y=f-1(x)是函数y=f(x)的反函数.
(1)若函数y=f-1(mx2+mx+1)的定义域为R,求实数m的取值范围;
(2)当x∈[-1,1]时,求函数y=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值g(a);
(3)是否存在实数m>n>3,使得g(x)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2]?若存在,求出m、n的值;若不存在,请说明理由
(1)∵f-1(x)
=logx(x>0),
∴f-1(mx2+mx+1)
=log(mx2+mx+1),由题知,mx2+mx+1>0恒成立,
∴①当m=0时,1>0满足题意;
②当m≠0时,
应有
⇒0<m<4,
∴实数m的取值范围为
0≤m<4.
(2)∵x∈[-1,1],
∴()x∈[,3],
y=[f(x)]2-2af(x)+3
=[()x]2-2a()x+3
=[()x-a]2+3-a2,
当a<时,
ymin=g(a)=-;
当≤a≤3时,
ymin=g(a)=3-a2;
当a>3时,ymin=g(a)
=12-6a.
∴g(a)
=
(3)∵m>n>3,且g(x)=12-6x在(3,+∞)上是减函数.
又g(x)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2].
∴
②-①得:6(m-n)=(m+n)(m-n)
∵m>n>3,∴m+n=6.但这与“m>n>3”矛盾.
∴满足题意的m、n不存在.
【解析】略
科目:高中数学 来源:2011届南京市金陵中学高三第四次模拟考试数学试题 题型:解答题
(本小题满分16分)已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a为正数).
(1) 若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;
(2) 求f(x)的单调区间;
(3) 设g(x)=x2-2x,若对任意的x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求实数a的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年浙江省杭州市高三上学期开学考试数学卷 题型:选择题
已知函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数,则f(1)的范围是( )
A.f(1)≥25 B.f(1)=25 C.f(1)≤25 D.f(1)>25
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年湖北省天门市高三天5月模拟文科数学试题 题型:填空题
已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(x)=x无实根,下列命题中:
(1)方程f [f (x)]=x一定无实根;
(2)若a>0,则不等式f [f (x)]>x对一切实数x都成立;
(3)若a<0,则必存在实数x0,使f [f (x0)]>x0;
(4)若a+b+c=0,则不等式f [f (x)]<x对一切x都成立;
正确的序号有 .
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科目:高中数学 来源:2012届江西省南昌市高三第一次模拟测试卷理科数学试卷 题型:选择题
已知函数f(x)=|lg(x-1)|-()x有两个零点x1,x2,则有
A.x1x2<1 B.x1x2<x1+x2
C.x1x2=x1+x2 D.x1x2>x1+x2
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