精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知函数f(x)=
1
2
x+1(-2≤x≤0)
2|x-2(0<x≤2)
,函数g(x)=ax-1,x∈[-2,2],对于任意x1∈[-2,2],总存在x0∈[-2,2],
使得g(x0)=f(x1)成立.
(1)求f(x)的值域.
(2)求实数a的取值范围.
分析:(1)对于分段函数的值域问题要分段求解,然后再综合即可得出f(x)的值域;
(2)根据对于任意x1∈[-2,2],总存在x0∈[-2,2],使得g(x0)=f(x1)成立,得到函数f(x)在[-2,2],上值域是g(x)在[-2,2],上值域的子集,下面利用求函数值域的方法求函数f(x)、g(x)在[-2,2],上值域,并列出不等式,解此不等式组即可求得实数a的取值范围.
解答:解:(1)当 x∈[-2,0]时,f(x)=
1
2
x+1在[-2,0]上是增函数,此时f(x)∈[0,1]

当 x∈(0,2]时,f(x)=2|x-2|=22-x在(0,,2]上是减函数,此时f(x)∈[1,4)
∴f(x)的值域为:[0,4];
(2)①若a=0,g(x)=-1,对于任意 x1∈[-2,2],f(x1)∈[0,4],不存在x0∈[-2,2],使g(x0)=f(x1
②当a>0时,g(x)=ax-1在[-2,2]是增函数,g(x)∈[-2a-1,2a-1]
任给 x1∈[-2,2],f(x1)∈[0,4]
若存在x0∈[-2,2],使得g(x0)=f(x1)成立
[0,4]⊆[-2a-1,2a-1]∴
-2a-1≤0
2a-1≥4
,∴a≥
5
2

③a<0,g(x)=ax-1在[-2,2]是减函数,g(x)∈[2a-1,-2a-1]
2a-1≤0
-2a-1≥4
,∴a≤-
5
2

综上,实数 a∈(-∞,-
5
2
]∪[
5
2
,+∞)
点评:此题是中档题.考查利用导数研究函数在闭区间上的最值问题,难点是题意的理解与转化,体现了转化的思想.同时也考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(1)、已知函数f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函数f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的图象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一个函数g(x)的图象,求g(x)的解析式.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同时满足条件:
①?x0∈(0,+∞),x0为f(x)的一个极大值点;
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
则实数a的取值范围是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函数在区间(a,a+
1
2
)
上存在极值,求实数a的取值范围;
(2)当x≥1时,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求实数k的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
与f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

定义在D上的函数f(x)如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域,并判断f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数,请说明理由;
(2)若函数f(x)在[0,1]上是以3为上界的有界函数,求m的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案