Question

8．如图，过圆O外一点P作该圆的两条割线PAB和PCD，分别交圆O于点A、B、C、D，弦AD和BC交于点Q，割线PEF经过点Q交圆O于点E、F，点M在EF上，且∠BAD=∠BMF．
（1）求证：PA•PB=PM•PQ；
（2）求证：∠BMD=∠BOD．

Answer 1

分析 （1）利用AA，Q，M，B四点共圆，证明PA•PB=PM•PQ；
（2）利用△CPQ∽△MPD，证明∠BMD=∠BMF+∠DMF=2∠BAD，∠BOD=2∠BAD，即可证明∠BMD=∠BOD．

解答 证明：（1）∵∠BAD=∠BMF，
∴A，Q，M，B四点共圆，
∴PA•PB=PM•PQ．
（2）∵PA•PB=PC•PD，
∴PC•PD=PM•PQ，
又∠CPQ=∠MPD，
∴△CPQ∽△MPD，
∴∠PCQ=∠PMD，则∠DCB=∠FMD，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BMD=∠BMF+∠DMF=2∠BAD，
又∠BOD=2∠BAD，
∴∠BMD=∠BOD．

点评 本题考查四点共圆，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．