Question

在平面直角坐标系中，若两个不同的点A（a，b），B（-a，-b）均在函数y=f（x）的图象上，则称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作同一组），函数g(x)=

2sin4x(x≤0) log2(x+1)(x＞0)

关于原点的中心对称点的组数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：作出函数g（x）的图象，根据y=2sin4x是R上的奇函数，可得函数y=2sin4x图象在原点右边的部分与y=log₂（x+1）在原点右边的图象有交点的个数，即为函数g（x）关于原点的中心对称点的组数．由此不难得到本题的答案．

解答：解：作出函数数g(x)=

2sin4x(x≤0) log2(x+1)(x＞0)

的图象，
当x≤0时，函数图象是三角函数y=2sin4x图象在原点左边的部分；
当x＞0时，函数图象是y=log₂（x+1）图象在原点右边的部分．
为了找出关于原点的中心对称点，作出y=2sin4x图象在原点右边的部分．
因为y=2sin4x是R上的奇函数，所以y=2sin4x图象在原点右边的部分与
y=log₂（x+1）在原点右边的图象有几个交点，函数g（x）关于原点的中心
对称点的组数就有几对．
∵当0＜x≤3时，log₂（x+1）的取值小于2，两个图象有三个交点
当x＞3时，log₂（x+1）的取值大于2，而2sin4x≤2，两图象没有公共点
∴函数g(x)=

2sin4x(x≤0) log2(x+1)(x＞0)

关于原点的中心对称点共有3组
故选C

点评：本题给出分段函数，求函数关于原点的中心对称点的组数．着重考查了三角函数、对数函数的图象与性质等知识，属于中档题．