Question

已知双曲线C与

x2

12

-

y2

8

=1有相同渐近线，且与x轴一个交点为（

3

，0）．
（1）求双曲线C方程；
（2）斜率为2的直线l被该双曲线截得弦长4，求直线L在y轴上的截距．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）可设双曲线C：

x2

12

-

y2

8

=λ（λ≠0），代入点（

3

，0），则得λ=

1

4

，即可得到所求方程；
（2）设斜率为2的直线l：y=2x+t，联立直线方程l和双曲线C方程，消去y得到x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，化简计算即可求得t，得到直线方程，令x=0，即可得到纵截距．

解答： 解：（1）由于双曲线C与

x2

12

-

y2

8

=1有相同渐近线，
则可设双曲线C：

x2

12

-

y2

8

=λ（λ≠0），
代入点（

3

，0），则得λ=

1

4

，
故双曲线C方程为：

x2

3

-

y2

2

=1；
（2）设斜率为2的直线l：y=2x+t，
联立直线方程l和双曲线C方程，消去y得，
10x²+12tx+3t²+6=0，
则有△=144t²-40（3t²+6）＞0，
x₁+x₂=-

6t

5

，x₁x₂=

3t2+6

10

，
由弦长公式得，

1+22

•

(x1+x2)2-4x1x2

=4，
即有

5

•

36t2 25 - 2(3t2+6) 5

=4，
解得，t=±

210

3

，
经检验满足判别式大于0，
故直线l：y=2x±

210

3

，
令x=0，则有y=±

210

3

．
即有直线l在y轴上的截距为±

210

3

．

点评：本题考查双曲线的方程和性质的运用，考查直线方程和双曲线方程联立，消去未知数，得到二次方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．