【题目】已知圆和点,动圆经过点且与圆相切,圆心的轨迹为曲线
(1)求曲线的方程;
(2)点是曲线与轴正半轴的交点,点在曲线上,若直线的斜率满足求面积的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:(1)利用圆与圆的位置关系,得出曲线是为焦点,长轴长为的椭圆,即可求曲线的方程;(2)联立方程组,得,利用韦达定理,结合,得出直线过定点,表示出面积,即可,求面积的最大值.
试题解析:(1)圆的圆心为,半径为,点在圆内,因为动圆经过点且与圆相切,所以动圆与圆内切.设动圆半径为,则.因为动圆经过点,所以, ,所以曲线是为焦点,长轴长为的椭圆.由.得,所以曲线的方程为.
(2)直线斜率为0时,不合题意,设,直线,
联立方程组,得, ,
又,知
.
代入得,
又,化简得,
解得,故直线过定点,由,解得,
,
(当且仅当时取等号),综上, 面积的最大值为.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程和最值问题,属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法,本题(2)就是用的这种思路,利用均值不等式法求三角形面积最大值的.
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【题目】(2015·广东卷)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )
A. l与l1,l2都不相交
B. l与l1,l2都相交
C. l至多与l1,l2中的一条相交
D. l至少与l1,l2中的一条相交
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【题目】已知焦点在轴上的椭圆的中心是原点,离心率为双曲线离心率的一半,直线被椭圆截得的线段长为.直线: 与轴交于点,与椭圆交于两个相异点,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在实数,使?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】下列命题正确的是__________.(写出所有正确命题的序号)
①已知,“且”是“”的充要条件;
②已知平面向量,“且”是“”的必要不充分条件;
③已知,“”是“”的充分不必要条件;
④命题:“,使且”的否定为:“,都有且”
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【题目】已知函数.
(1)若在定义域上为单调递减函数,求实数的取值范围;
(2)是否存在实数,使得恒成立且有唯一零点,若存在,求出满足, 的的值;若不存在,请说明理由.
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