【题目】已知函数.
(1)a=1时,求函数f(x)的极值;
(2)若,求f(x)的最小值g(a)的取值范围.
【答案】(1)f(x)极小值e﹣1,无极大值;(2)[ln2﹣1,e﹣1].
【解析】
(1)代入求导可得,再求导分析单调性与最值可知,进而求得的极值点与单调区间以及极值.
(2)求导后构造导函数得出,再根据(1)中的结论可知恒成立,进而可得在定义域上单调递增.再根据零点存在定理可知 在上有唯一解,且,进而求得最小值,再根据隐零点问题消去参数,再构造函数关于极值点的函数分析即可.
(1)当a=1时,,则,
令h(x)=ex﹣x,当x∈(0,+∞)时,h′(x)=ex﹣1>0,
∴在(0,+∞)上,h(x)>h(0)=1,即ex>x,
令f′(x)=0,则x=1,经检验,在(0,1)上,f′(x)<0,f(x)单调递减,在(1,+∞)上,f′(x)>0,f(x)单调递增,
∴当x=1时,函数y=f(x)取得极小值e﹣1,无极大值;
(2),令,
则,
由(1)知,当x∈(0,+∞)时,
ex>x,ex(x2﹣2x+2)﹣x>x(x2﹣2x+2)﹣x=x(x﹣1)2≥0,
∴p′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
∴f′(x)在定义域上单调递增,
∵,
∴,
∴方程f′(x)=0在(0,+∞)上有唯一解,
设方程f′(x)=0的解为x0,则在(0,x0)上f′(x)<0,在(x0,+∞)上f′(x)>0,且1≤x0≤2,
∴f(x)的最小值为,
由f′(x)=0得,代入g(a)得,,
令,则,
∵﹣x2+2x﹣2=﹣(x﹣1)2﹣1≤﹣1,
∴ex(﹣x2+2x﹣2)+x≤x﹣ex<0,
∴φ(x)在[1,2]上为减函数,
∴,
∴g(a)∈[ln2﹣1,e﹣1].
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【题目】在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知曲线的极坐标方程为 ,直线 的参数方程为 (为参数).
(I)分别求曲线的直角坐标方程和直线 的普通方程;
(II)设曲线和直线相交于两点,求弦长的值.
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).M是曲线上的动点,将线段OM绕O点顺时针旋转得到线段ON,设点N的轨迹为曲线.以坐标原点O为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)在(1)的条件下,若射线与曲线分别交于A, B两点(除极点外),且有定点,求的面积.
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【题目】已知函数,x∈(b﹣3,2b)是奇函数,
(1)求a,b的值;
(2)若f(x)是区间(b﹣3,2b)上的减函数且f(m﹣1)+f(2m+1)>0,求实数m的取值范围.
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【题目】某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本(万元)与年产量(吨)之间的函数关系式可以近似的表示为,已知此生产线年产量最大为吨.
(1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本;
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少?
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【题目】已知两圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0.
(1)求证:圆C1和圆C2相交;
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
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【题目】直三棱柱中, , , ,点是线段上的动点.
(1)当点是的中点时,求证: 平面;
(2)线段上是否存在点,使得平面平面?若存在,试求出的长度;若不存在,请说明理由.
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