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如图在四棱锥P-ABCD中侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA⊥PD,底面ABCD为直角梯形.其中BC∥AD,∠BAD=90°,AD=3BC,O是AD上一点
①若CD∥平面PBO 试指出O的位置并说明理由
②求证平面PAB⊥平面PCD
③若PD=BC=1,AB=,求P-ABCD的体积.

【答案】分析:①CD∥平面PBO,推出BO∥CD得到AD=3BC,点O的位置满足AO=2OD;
②要证平面AB⊥平面PCD,只需证明平面PCD内的直线PD,垂直平面PABPD内的两条相交直线AB、PA即可;
③过P作PE⊥AD,可得PE⊥底面ABCD,再利用四棱锥体积公式,即可得出结论.
解答:①解:因为CD∥平面PBO,CD?平面ABCD,且平面ABCD∩平面PBO=BO,
所以BO∥CD
又BC∥AD,
所以四边形BCDO为平行四边形,则BC=DO,
而AD=3BC,故点O的位置满足AO=2OD.
②证明:因为侧面PAD⊥底面ABCD,AB?底面ABCD,且AB⊥交线AD,
所以AB⊥平面PAD,则AB⊥PD又PA⊥PD,
且PA?平面PAB,AB?平面PAB,AB∩PA=A,
所以PD⊥平面PAB,PD?平面PCD,
所以:平面PAB⊥平面PCD;
③解:过P作PE⊥AD,
∵侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PAD∩底面ABCD=AD,
∴PE⊥底面ABCD,
∵PD=1,AD=3BC,棱PA⊥PD,
∴PA=2
∴PE=
∵AB=,∠BAD=90°
∴P-ABCD的体积为=
点评:本题考查线面平行,考查面面垂直,考查四棱锥体积的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图在四棱锥P-ABCD中,底ABCD是矩形,PA⊥面ABCD,AP=AB=2,BC=2
2
,E、F、G分别为AD、PC、PD的中点.
(1)求证:FG∥面ABCD
(2)求面BEF与面BAP夹角的大小.

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①若CD∥平面PBO 试指出O的位置并说明理由
②求证平面PAB⊥平面PCD
③若PD=BC=1,AB=2
2
,求P-ABCD的体积.

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如图在四棱锥P-ABCD中,侧棱PD⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点,底面ABCD是菱形,
(1)求证:MN∥平面PAD;
(2)求证:平面PAC⊥平面PBD.

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(I)求证:PB∥平面ACM;
(II)求证:MN⊥平面PAC;
(III)若
PF
=2
FC
,求平面FMN与平面ABCD所成二面角的余弦值.

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