Question

(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．

(1)当a＝时，判断证明f(x)的单调性并求f(x)的最小值；

(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>1恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

解：(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，在[1，＋∞)上任取x₁，x₂，且x₁<x₂.

f(x₁)－f(x₂)＝(x₁－x₂)>0，

所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，

f(x)的最小值为f(1)＝；

(2)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝>1等价于x²＋x＋a>0，

而g(x)＝x²＋x＋a＝²＋a－在[1，＋∞)上递增，所以当x＝1时，g(x)_min＝2＋a，

当且仅当2＋a>0时，恒有f(x)>1，即实数a的取值范围为a>－2.