Question

【题目】已知A是抛物线y2=4x上的一点，以点A和点B（2，0）为直径的圆C交直线x=1于M，N两点．直线l与AB平行，且直线l交抛物线于P，Q两点．
（Ⅰ）求线段MN的长；
（Ⅱ）若 =﹣3，且直线PQ与圆C相交所得弦长与|MN|相等，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设A（ ，y0），则C的方程为（x﹣2）（x﹣ +y（y﹣y0）=0，

令x=1，得y2﹣y0y+ ﹣1=0，

∴|MN|=|y1﹣y2|= =2；

（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+n，代入抛物线方程得y2﹣4my﹣4n=0，

∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4n

∵ =﹣3，

∴x1x2+y1y2= +y1y2=﹣3，

∴n2﹣4n+3=0，

∴n=1或3，此时B（2，0）到直线l的距离d= ．

由题意，圆心C到直线l的距离等于到直线x=1的距离，

∴ = ．

∵m= ，

∴ =64，

∴ =8，

∴m=0，

∴直线l的方程为x=3，

综上，直线l的方程为x=1或x=3．

【解析】（Ⅰ）C的方程为（x﹣2）（x﹣ +y（y﹣y0）=0，令x=1，得y2﹣y0y+ ﹣1=0，利用韦达定理及弦长公式求线段MN的长；（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+n，代入抛物线方程，利用 =﹣3，求出n，直线PQ与圆C相交所得弦长与|MN|相等，求出m，即可求直线l的方程．